在正方形ABCD中,对角线AC、BD交于O,BE平分∠DBC交AC于F,交DC于E 求证OF=而二分之一DE

在正方形ABCD中,对角线AC、BD交于O,BE平分∠DBC交AC于F,交DC于E 求证OF=而二分之一DE
在正方形ABCD中,对角线AC、BD交于O,BE平分∠DBC交AC于F,交DC于E 求证OF=而二分之一DE

在正方形ABCD中,对角线AC、BD交于O,BE平分∠DBC交AC于F,交DC于E 求证OF=而二分之一DE
证明：
∵正方形ABCD
∴AC⊥BD,∠BCD＝90,BD＝2BO
∴∠BCO+∠DBC＝90,∠BDC+∠DBC＝90
∴∠BCO＝∠BDC
∵BE平分∠DBC
∴∠DBE＝∠CBE
∵∠CFE＝∠CBE+∠BCO,∠BEC＝∠DBE+∠BDC
∴∠CFE＝∠BEC
∴CE＝CF
∵BE平分∠DBC
∴CE/DE＝BC/BD,CF/OF＝BC/BO
∴DE＝CE*BD/BC,OF＝CF*BO/BC
∴DE/OF＝（CE*BD/BC）/（CF*BO/BC）＝CE*BD/CF*BO＝2
∴OF＝DE/2

因为ABCD是正方形
所以设BC=DC=x 角BCD=90度
AC和BC互相垂直平分
所以：OA=OC=OB=OD=AC/2=BD/2
在等腰直角三角形BCD中，由勾股定理得：
BD^2=BC^2+DC^2=2x^2
所以BD=x根号2
OB=OC=OD=x根号2/2
因为BE平分角DBC
所以CF/OF=BC/OB ...

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因为ABCD是正方形
所以设BC=DC=x 角BCD=90度
AC和BC互相垂直平分
所以：OA=OC=OB=OD=AC/2=BD/2
在等腰直角三角形BCD中，由勾股定理得：
BD^2=BC^2+DC^2=2x^2
所以BD=x根号2
OB=OC=OD=x根号2/2
因为BE平分角DBC
所以CF/OF=BC/OB EC/DE=BC/BD
所以：OC/OF=(BC+OB)/OB DC/DE=(BC+BD)/BD
即:OF=(2-根号2）/2
DE=2-根号2
所以：OF=DE/2
所以：OF=二分之一DE

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