求函数y=sinx-cosx+2sinxcosx的最值及相应x的值.

求函数y=sinx-cosx+2sinxcosx的最值及相应x的值.
求函数y=sinx-cosx+2sinxcosx的最值及相应x的值.

求函数y=sinx-cosx+2sinxcosx的最值及相应x的值.
利用(sinx - cosx)^2 = 1- 2sinxcosx来替换变量.
令 t = sinx - cosx,则
y = t + (1-t^2) = t^2/2 + t + 1,这是一个二次函数.
然后考察自变量t的范围：t = sinx - cosx = sqrt (2) sin (x - π/4),所以t的取值范围是
[-sqrt(2), sqrt(2)],分别对应 x - π/4 = 3π/2 + 2kπ 和 x - π/4 = π/2 + 2kπ,k为任意整数.
于是,二次函数的最小值在t = -1（对称轴处）取到,此时sin (x - π/4) = -sqrt(2)/2,所以解出
x = π/4 + (-π/4) + 2kπ = 2kπ,或者x = π/4 + 5π/4 + 2kπ = 3π/2 + 2kπ,这是最小值点,最小值为 1/2；
最大值在 t = sqrt(2)时取到,此时x - π/4 = π/2 + 2kπ,即x = 3π/4 + 2kπ,这是最大值点,最大值为 2 + sqrt(2).