作业帮1．如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2,D、E分别为CC1、A1B1的中点．（1）求证C1E∥平面A1BD；（2）求证AB1⊥平面A1BD；（3）求三棱锥A1-C1DE的体积． 我要第三问,答案是更好3/6
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 02:38:46
1．如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2,D、E分别为CC1、A1B1的中点．（1）求证C1E∥平面A1BD；（2）求证AB1⊥平面A1BD；（3）求三棱锥A1-C1DE的体积． 我要第三问,答案是更好3/6
1．如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2,D、E分别为CC1、A1B1的中点．
（1）求证C1E∥平面A1BD；
（2）求证AB1⊥平面A1BD；
（3）求三棱锥A1-C1DE的体积． 我要第三问,答案是更好3/6
1．如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2,D、E分别为CC1、A1B1的中点．（1）求证C1E∥平面A1BD；（2）求证AB1⊥平面A1BD；（3）求三棱锥A1-C1DE的体积． 我要第三问,答案是更好3/6
1、∵EF是△ABB1中位线,
∴EF//BB1,且EF=BB1/2,
∵C1D=CC1/2,
∴EF=C1D,
∴四边形EFDC1是平行四边形,
∴C1E//DF,
∴DF∈平面A1BD,
∴EC1//平面A1BD.
2、∵棱长都是2,
∴四边形ABB1A1是正方形,
∴A1B⊥AB1,
∵C1E⊥A1E,（等腰△三线合一）,
∵BB1⊥平面A1B1C1,
C1E∈平面A1B1C1,
∴EC1⊥BB1,
∵A1B1∩BB1=B1,
∴EC1⊥平面A1B1B,
∵FD//C1E,
∴FD⊥平面A1BB1,
∵AB1∈平面AA1B1B,
∴AB1⊥DF,
∵DF∩A1B=F,
∴A1B⊥平面A1BD,
3、前已述EC1⊥平面A1BB1,
EF∈平面A1B1B,
∴EC1⊥EF,
∴四边形DFEC1是矩形,
S矩形DFCEC1=EF*C1E,
∵△A1B1C1是正△,
∴C1E=√3A1B1/2=√3,
EF=BB1/2=1,
∴S矩形DFCEC1=√3,
S△DEC1=S矩形DFCEC1/2=√3/2,
∵EF//AA1,
AA1⊥A1B1,
∴A1E⊥EF,
A1E⊥EC1,
EC1∩EF=E,
∴A1E⊥平面EFDC1,
∴A1E是三棱锥A1-C1DE的高,
AE=A1B1/2=1,
∴VA1-DEC1=S△DEC1*A1E/3=（√3/2）*1/3=√6/3.