P为△ABC内一点,连接PA,PB,PC把三角形的面积三等分,则P是△ABC的什么心内心,外心,垂心,中心?

P为△ABC内一点,连接PA,PB,PC把三角形的面积三等分,则P是△ABC的什么心内心,外心,垂心,中心?
P为△ABC内一点,连接PA,PB,PC把三角形的面积三等分,则P是△ABC的什么心
内心,外心,垂心,中心?

P为△ABC内一点,连接PA,PB,PC把三角形的面积三等分,则P是△ABC的什么心内心,外心,垂心,中心?

如图所示,因为S△APB=S△APC=S△BPC

所以AB*h1=AC*h2=BC*h3,AB/AC=h2/h1=h5/h4

=(CD*sin∠C)/(BD*sin∠B)= (CD/BD)*(AB/AC)

即AB/AC=(CD/BD)*(AB/AC),CD=BD

同理可知,其他延长线与对边的交点也是中点

所以P为重心

特殊地,当此题为选择题时,可由等边直角三角形

判断出垂心,内心,外心都是不符合条件的,所以

只能是重心,并且可以证明其中任意两心合一,必

然导致四心合一,即三角形为等边三角形

重心

重心 延长AP交BC于D，利用同高的三角形面积之比等于底边长之比得：PA/PD＝S(PAB)/S(PBD)=S(PAC)/S(PCD).因S(PAB)=S(PAC)，所以，S(PBD)=S(PCD).因三角形PBD与PCD同高，故，BD＝CD，即D是BC中点，P在BC边的中线上。同理也可证明，P也在AC、AB的中线上。所以，P是三角形ABC的重心...

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重心 延长AP交BC于D，利用同高的三角形面积之比等于底边长之比得：PA/PD＝S(PAB)/S(PBD)=S(PAC)/S(PCD).因S(PAB)=S(PAC)，所以，S(PBD)=S(PCD).因三角形PBD与PCD同高，故，BD＝CD，即D是BC中点，P在BC边的中线上。同理也可证明，P也在AC、AB的中线上。所以，P是三角形ABC的重心

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都不是！！！！