是否存在实数a,使函数f(x)=x^2-2ax+a的定义域为[-1,1]时,值域为[-2,2]?若存在求a的值,若不存在说明理由

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/01 14:36:46

是否存在实数a,使函数f(x)=x^2-2ax+a的定义域为[-1,1]时,值域为[-2,2]?若存在求a的值,若不存在说明理由
是否存在实数a,使函数f(x)=x^2-2ax+a的定义域为[-1,1]时,值域为[-2,2]?若存在求a的值,若不存在说明理由

是否存在实数a,使函数f(x)=x^2-2ax+a的定义域为[-1,1]时,值域为[-2,2]?若存在求a的值,若不存在说明理由
存在这样的a值,结论是a=-1,
首先要分析这个函数,他是图像是个开口朝上的抛物线；对成轴为x=a,所以,围绕定义域的位置来展开分析,从而有如下三种情况：
1、定义域在轴左侧,即a>=1,这时,定义域内的最小值和最大值分别为x=1和x=-1时,分别计算f(1)和f(-1),并将值域的两个端点的值赋予对应的端点的关于a的表达式得到a=3及a=1/3,所以不能满足要求；
2、定义域在轴右侧,即a<=-1,这时,定义域内的最小值和最大值分别为x=-1和x=1时,分别计算f(-1)和f(1),并将值域的两个端点的值赋予对应的端点的关于a的表达式得到a-1,满足要求；
3、轴x=a在定义域内时,即-1<a<1那么函数f(x)的最小值落在了轴x=a上,最小值为f（a）=a-a^2,令其等于-2,得到a=2或者a=-1,而这与当初的假设矛盾,所以不成立
综上所述,存在这样的a,且a=-1.

对称轴为x = a
当f(a) = a-a^2时为函数最少值，当a = -1，f(a) = -2
f(x) = x^2+2x-1 , x = 1时，f(1) = 2，所以当a = -1时，定义域[-1,1],值域为[-2,2]符合条件。

全部展开

f(x)=x^2-2ax+a=(x-a)^2+a-a^2开口向上，对称轴x=a
设a＜-1，则区域[-1,1]在对称轴右侧，函数单调增
最小值f(-1)=1+2a+a=-2，a=-1
最大值f(1)=1-2a+a=2，a=-1
∴a 不小于 -1
设-1≤a≤1/2
极值极为最小值：a-a^2=-2，(a+1)(a-2)=0，a=-1
最大值f（1）=1-2a+a=2，a=-1
∴a=-1
设1/2≤a≤1
极值极为最小值：a-a^2=-2，(a+1)(a-2)=0，a=-1
最大值f（-1）=1+2a+a=2，a=1/3
∴a不属于[1/2，1]
设a＞1，区域[-1,1]在对称轴左侧，函数单调减
最小值f(1)=1-2a+a=-2，a=3
最大值f(-1)=1+2a+a=-2，a=-1/3
∴a不大于1
综上，存在a
a=-1

收起

是否存在实数a,使函数f(x)=x^2-2ax+a的定义域为[-1,1]时,值域为[-2,2]?若存在 求a的值,若不存在说明理由

是否存在实数a,使函数f(x)=x^2-2ax+a的定义域为[-1,1]时,值域为[-2,2]?若存在求a的值,若不存在说明理由