作业帮在直三棱柱ABC-A1B1C1中,角ACB=90°,AB=2,BC=1,AA1=根号6,D是棱CC1的中点,证明：A1D⊥平面AB1C1求二面角B-AB1-C1
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 10:01:07
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,角ACB=90°,AB=2,BC=1,AA1=根号6,D是棱CC1的中点,证明：A1D⊥平面AB1C1求二面角B-AB1-C1
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,角ACB=90°,AB=2,BC=1,AA1=根号6,D是棱CC1的中点,证明：A1D⊥平面AB1C1
求二面角B-AB1-C1
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,角ACB=90°,AB=2,BC=1,AA1=根号6,D是棱CC1的中点,证明：A1D⊥平面AB1C1求二面角B-AB1-C1
第一个问题：
令AD与AC1的交点为E.
∵∠ACB＝90°、BC＝1、AB＝2,∴∠BAC＝30°,∴AC＝√3.
∵ABC－AB1C1是直三棱柱,
∴∠CC1A1＝∠AA1C1＝90°、CC1＝AA1＝√6、A1C1＝AC＝√3,
又CD＝C1D,∴C1D＝CC1/2＝√6/2.
∴tan∠A1DC1＝A1C1/C1D＝√3/（√6/2）＝2/√2＝√2.
tan∠AC1A1＝AA1/A1C1＝√6/√3＝√2.
∴tan∠A1DC1＝tan∠AC1A1,显然,∠A1DC1、∠AC1A1都是锐角,
∴∠A1DC1＝∠AC1A1,又∠DA1C1＝∠C1A1D,∴∠DC1A1＝∠C1EA1＝90°,
∴A1D⊥AC1.
∵ABC－AB1C1是直三棱柱,∴BC⊥CC1、又BC⊥AC、BC∩AC＝C,∴BC⊥平面AA1C1C.
∵ABC－AB1C1是直三棱柱,∴BC∥B1C1,
∴B1C1⊥平面AA1C1C,而A1D在平面AA1C1C上,∴A1D⊥B1C1.
由A1D⊥AC1、A1D⊥B1C1、AC1∩B1C1＝C1,得：A1D⊥平面AB1C1.
第二个问题：
过C1作C1F⊥AB1交AB1于F,过F作FG⊥AB1交BB1于G.
∵AA1⊥A1C1、AA1＝√6、A1C1＝√3,∴AC1＝√（AA1^2＋AC1^2）＝√（6＋3）＝3.
∵ABC－AB1C1是直三棱柱,∴BB1＝AA1＝√6、∠ABB1＝90°.
∴AB1＝√（AB^2＋BB1^2）＝√（4＋6）＝√10.
∵B1C1⊥平面AA1C1C,∴AC1⊥B1C1,∴AC1×B1C1＝AB1×C1F,
∴C1F＝AC1×B1C1/AB1＝3×1/√10＝3/√10.
∴B1F＝√（B1C1^2－C1F^2）＝√（1－9/10）＝1/√10.
∵∠GB1F＝∠AB1B、∠GFB1＝∠ABB1＝90°,∴△GFB1∽△ABB1,∴GF/FB1＝AB/BB1,
∴GF＝AB×FB1/BB1＝1×（1/√10）/√6＝1/（2√15）.
∴GB1＝√（B1F^2＋GF^2）＝√（1/10＋1/60）＝√7/（2√15）.
∵ABC－AB1C1是直三棱柱,∴∠C1B1G＝90°,
∴C1G＝√（B1C1^2＋GB1^2）＝√（1＋7/60）＝√67/（2√15）.
由余弦定理,有：
cos∠C1FG＝（GF^2＋C1F^2－C1G^2）/（2GF×C1F）
＝（1/60＋9/10－67/60）/｛2×［1/（2√15）］［3/√10］｝
＝－（12/60）/（12×5√6）＝－1/（300√6）＝－√6/1800.
∵C1F⊥AB1、GF⊥AB1,∴∠C1FG是二面角B－AB1－C1的平面角,
∴二面角B－AB1－C1的大小为arccos（－√6/1800）.