高数 两道道关于幂级数的题1.将下列函数展开成X的幂级数,并求收敛域f(x)=Ln(1+x-2x²)2.将函数∫(0到x)sint/t dt 展开成x的幂级数,给出收敛域,并求级数∑(n从0到无穷)[(-1)^n]/(2n+1

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 04:14:27
高数 两道道关于幂级数的题1.将下列函数展开成X的幂级数,并求收敛域f(x)=Ln(1+x-2x²)2.将函数∫(0到x)sint/t dt 展开成x的幂级数,给出收敛域,并求级数∑(n从0到无穷)[(-1)^n]/(2n+1

高数 两道道关于幂级数的题1.将下列函数展开成X的幂级数,并求收敛域f(x)=Ln(1+x-2x²)2.将函数∫(0到x)sint/t dt 展开成x的幂级数,给出收敛域,并求级数∑(n从0到无穷)[(-1)^n]/(2n+1
高数 两道道关于幂级数的题
1.将下列函数展开成X的幂级数,并求收敛域
f(x)=Ln(1+x-2x²)
2.将函数∫(0到x)sint/t dt 展开成x的幂级数,给出收敛域,并求级数∑(n从0到无穷)[(-1)^n]/(2n+1)!的和.
符号那里下标不太好打用括号里的说明了,应该能明白吧,如果有问题请再留言.步骤详细些……最好是用图的那种……谢谢了
答案好像有点问题……不过方法了解了谢谢

高数 两道道关于幂级数的题1.将下列函数展开成X的幂级数,并求收敛域f(x)=Ln(1+x-2x²)2.将函数∫(0到x)sint/t dt 展开成x的幂级数,给出收敛域,并求级数∑(n从0到无穷)[(-1)^n]/(2n+1
f(x)=ln(1+x-2x²)=ln[(1-x)(1+2x)]=ln(1-x)+ln(1+2x)
显然,收敛域为:
|x|≤1
|2x|≤1
所以x∈(-1/2,1/2)
我们知道:
1/(1-x)=1+x+x^2+...+x^n n=0,1,2..
两边积分:
∫1/(1-x)dx=∫(1+x+x^2+...+x^n)dx n=0,1,2...
-ln(1-x)=x+1/2x^2+1/3x^3+...+1/(n+1)*x^(n+1) n=0,1,2...

ln(1-x)=-∑x^(n+1)/(n+1),n=0,1,2...
同理:
1/(1+x)=1-x+x^2+...+*(-1)^n*x^n n=0,1,2..
则1/(1+2x)=1-2x+(2x)^2+...+*(-1)^n*(2x)^n n=0,1,2..
两边积分:
∫1/(1+2x)dx=∫(1-2x+(2x)^2+...+(-1)^n*(2x)^n)dx n=0,1,2...
那么:
1/2*ln(1+2x)=x-1/2(2x)^2+1/3(2x)^3+...+(-1)^n/(n+1)*(2x)^(n+1) n=0,1,2...

ln(1+2x)=2∑(-1)^n*(2x)^(n+1)/(n+1),n=0,1,2...
则:ln(1-x)+ln(1+2x)
=∑[(-1)^n*2^(n+2)-1]x^(n+1)/(n+1),n=0,1,2...
对∫(0到x)sint/t dt求导得
sinx/x
而sinx的x幂级数为:
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+...
则sinx/x=1-x^2/3!+x^4/5!-...(-1)^(k-1)*x^(2k-2)/(2k-1)!+...
再积分,即可得:
∫(0到x)sint/t dt=
x-x^3/3*3!+x^5/5*5!-...(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)*(2k-1)!+...
=∑(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)*(2k-1)!k=1,2,3...
收敛域为-1