数列求和公式 n^2*a^(n-1)
数列求和公式 n^2*a^(n-1)
数列求和公式 n^2*a^(n-1)
数列求和公式 n^2*a^(n-1)
用S表示前N项和
S=1+4a+9a^2+16a^3+ … +[(n-1)^2]*a^(n-2)+(n^2)*a^(n-1) ①
aS=a+4a^2+9a^3+16a^4+ … +[(n-1)^2]*a^(n-1))+(n^2)*a^n ②
①-②得：
(1-a)S=1+3a+5a^2+7a^3+ … +(2n-3)*a^(n-2)+(2n-1)*a^(n-1)-(n^2)*a^n ③
a(1-a)S=a+3a^2+5a^3+7a^4+ … +(2n-3)*a^(n-1)+(2n-1)*a^n-(n^2)*a^(n+1) ④
③-④得：
(1-a)^2*S=1+2a+2a^2+2a^3+2a^4+ … +2a^(n-1)+(n-1)^2*a^n+(n^2)*a^(n+1)
(1-a)^2*S=1+2[a+a^2+a^3+a^4+ … +a^(n-1)]+(n-1)^2*a^n+(n^2)*a^(n+1)
(1-a)^2*S=1+2a[1-a^(n-1)]/(1-a)+(n-1)^2*a^n+(n^2)*a^(n+1)
S={1+2a[1-a^(n-1)]/(1-a)+(n-1)^2*a^n+(n^2)*a^(n+1)}/(1-a)^2
剩下的自己整理吧.打的好辛苦哦.
用两次错位相消法
(a1+an)*n/2
或
a1n+(n-1)n*d/2
（首项+末项）*项数
-------------------
2
是An=n^2*a^(n-1)吧？
一楼和二楼都不怎么厚道啊。这不是等差数列，不能用等差数列求和，但可转化为等差或等比数列的和来求。
Sn=Sigma(i=1,n)[An]=Sigma(i=1,n)[n^2*a^(i-1)]
=Sigma(i=1,n)[1^2*a^(i-1)]+Sigma(i=2,n)[(2^2-1^2)*a^(i-1)]
+Sigma(...
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是An=n^2*a^(n-1)吧？
一楼和二楼都不怎么厚道啊。这不是等差数列，不能用等差数列求和，但可转化为等差或等比数列的和来求。
Sn=Sigma(i=1,n)[An]=Sigma(i=1,n)[n^2*a^(i-1)]
=Sigma(i=1,n)[1^2*a^(i-1)]+Sigma(i=2,n)[(2^2-1^2)*a^(i-1)]
+Sigma(i=3,n)[(3^2-2^2)*a^(i-1)]+…………
=Sigma(j=1,n)[Sigma(i=j,n)[(j^2-(j-1)^2)*a^(i-1)]]
=Sigma(j=1,n)[Sigma(i=j,n)[(2j-1)*a^(i-1)]]
=Sigma(j=1,n)[(2j-1)*a^(j-1)*(1-a^(n-j))/(1-a)] （等比数列求和）
=1/(1-a)*Sigma(j=1,n)[(2j-1)*{a^(j-1)-a^(n-1)}]
=1/(1-a)*{Sigma(j=1,n)[(2j-1)*a^(j-1)]-Sigma(j=1,n)[(2j-1)*a^(n-1)}]
其中后一个求和是一个等差数列，可用等差数列求和公式求出，前一个求和是
形如 An=n*a^n 的求和，可转化为 n个等比数列求和式的和，即
Sigma(i=1,n)[i*a^i]=Sigma(i=1,i)[a^i]+Sigma(i=2,n)[a^i]+…………
=Sigma(j=1,n)[Sigma(i=j,n)[a^i]] (内层是等比求和）
=Sigma(j=1,n)[{a^j-a^n}/(1-a)]
=1/(1-a)*{Sigma(j=1,n)[a^j]-Sigma(j=1,n)[a^n]}
这两项求和一个是等比一个是等差，故可求出。
至此问题转化为已知问题（等差和等比求和），故可求出（往下具体运算从略）
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